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\parindent0pt

\begin{document}

\section*{\LARGE Taylor-Reihen}
\rightline{Mathematik GLF 12/2 2006}
\rightline{Christian Neukirchen}

\section{Einführung}

Oft können wir bestimmte mathematische Funktionen nicht genau
ausrechnen, besonders die trigonometrischen Funktionen wie $\sin x$,
$\cos x$, oder die $e$-Funktion $e^x$ bereiten Probleme beim Auf- und
Ableiten.  Es ist daher hilfreich, eine \emph{Näherung} zu bestimmen,
um so wenigstens einen ungefähren Wert zu erhalten, der nicht all zu fern vom
exakten Wert ist.

Eine Möglichkeit, solche Nährungsfunktionen zu bilden, sind
\emph{Taylor-Reihen}.  Taylor-Reihen helfen uns, ein Taylor-Polynom $T(x)$ zu
berechnen, das eine Funktion $f(x)$ in der Umgebung eines Punktes~$a$ annähert.

Die allgemeine Form der Taylor-Reihe lautet:

%%% FIXME
\begin{align*}
  T(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^n\\
       &= f(a) + {f'(a)\over1!}\cdot(x-a)^1 + {f''(a)\over2!}\cdot(x-a)^2 + {f'''(a)\over3!}\cdot(x-a)^3 + {f''''(a)\over4!}\cdot(x-a)^4 \cdots
\end{align*}

(Hier sei $f^{(n)}$ die $n$-te Ableitung von $f(x)$ und $n!$ die $n$-te Fakultät
($1\cdot2\cdot3\cdots n-1\cdot n$.))

Oft setzt man $a=0$ (diesen Fall nennt man auch
\emph{Maclaurin-Reihe}), was die Formel etwas übersichtlicher macht:

\begin{equation*}
T(x) = f(0) + {f'(0)\over1!}\cdot x^1 + {f''(0)\over2!}\cdot x^2 + {f'''(0)\over3!}\cdot x^3 + {f''''(0)\over4!}\cdot x^4 \cdots
\end{equation*}

Wir werden im Folgenden vor allem Maclaurin-Reihen betrachten, dies
alles funktioniert aber auch mit $a\neq 0$.

\section{Berechnen von $\sin x$}

Wir wollen nun ein Taylor-Polynom vierten Grades von
$\sin x$ berechnen.  Dazu leiten wir erst mal ab, und berechnen alle
$f^{n}(0)$.
\begin{align*}
f(x) &= \sin x&\qquad f(0)&=0\\
f'(x) &= \cos x&f'(0)&=1\\
f''(x) &= -\sin x&f''(0)&=0\\
f'''(x) &= -\cos x&f'''(0)&=-1\\
f''''(x) &= \sin x&f''''(0)&=0\\
f'''''(x) &= \cos x&f''''(0)&=1
\end{align*}

Hier unsere Taylor-Reihe, ausgeschrieben bis 5.  Die Fakultäten wurden
bereits ausgerechnet:

\begin{equation*}
  f(0) + {f'(0)}\cdot{}x + {f''(0) \over 2}\cdot x^2 + {f'''(0) \over 6}\cdot x^3 + {f''''(0) \over 24}\cdot x^4 + {f'''''(0) \over 120}\cdot x^5
\end{equation*}

Jetzt können wir die oben berechneten Werte einsetzen, vereinfachen,
und erhalten:

\begin{equation*}
  x - {x^3 \over 6} + {x^5 \over 120}
\end{equation*}

Verschiedene Taylor-Polynome im Vergleich (Wenn wir den
Definitionsbereich von $\sin x$ beachten, liefert schon $T(5)$ eine
sehr gute Annäherung):

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.98\textwidth]{sinus}
\end{figure}

\section{Berechnen von $e^x$}

Nun wollen wir $e^x$ bestimmen.  Glücklicherweise ist hier das
Ableiten ganz einfach:

\begin{align*}
f(x) &= e^x&f(0)&=1\\
f'(x) &= e^x&f'(0)&=1\\
f''(x) &= e^x&f''(0)&=1\\
f'''(x) &= e^x&f'''(0)&=1\\
f''''(x) &= e^x&f''''(0)&=1
\end{align*}

Wir nehmen wieder das allgemeine Taylor-Polynom vierten Grades:

\begin{equation*}
  f(0) + {f'(0)}\cdot{}x + {f''(0) \over 2}\cdot x^2 + {f'''(0) \over 6}\cdot x^3 + {f''''(0) \over 24}\cdot x^4
\end{equation*}

Setzen ein und vereinfachen:

\begin{equation*}
  1 + x + {1\over2}x^2 + {1\over6}x^3 + {1\over24}x^4
\end{equation*}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{e}
\end{figure}

Wenn wir die Annäherung in verschiedener Genauigkeit vergleichen,
sieht man, wie sie recht schnell gegen $e$ konvergiert.
(Beachte: $1$ liegt nahe bei $0$)

\begin{align*}
  e &\approx 2.718281828\\
  T(2) &\approx 2.500000000\\
  T(5) &\approx 2.716666667\\
  T(10) &\approx 2.718281801
\end{align*}

\section{Nützliche Taylor-Reihen}

Viele Funktionen können geschickt durch Taylor-Reihen angenähert
werden, hier einige Beispiele:

\begin{align*}
\sin x &\approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + 
  \frac{x^9}{9!} - \frac{x^{11}}{11!} + \frac{x^{13}}{13!}\cdots\\[1em]
\cos x &\approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + 
  \frac{x^8}{8!} - \frac{x^{10}}{10!} + 
  \frac{x^{12}}{12!} - \frac{x^{14}}{14!}\cdots\\[1em]
e^x &\approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + 
  \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!} + 
  \frac{x^8}{8!} + \frac{x^9}{9!} + 
  \frac{x^{10}}{10!}\cdots\\[1em]
\ln (x+1) &\approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + 
  \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \frac{x^7}{7} - 
  \frac{x^8}{8} + \frac{x^9}{9} - \frac{x^{10}}{10} \cdots\\[1em]
\pi\over4 &\approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + 
  \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\cdots
\end{align*}

\section{Beispiel: Integrieren von $(\sin x)/(x+1)$}

Zum Abschluss wollen wir $(\sin x)/(x+1)$ ableiten.  Dies ist mit
algebraischen Mitteln nicht möglich; will man einen Zahlenwert
erhalten, kann man nur annähern.

Man leitet also ein paar mal ab:

\begin{align}
f(x) &= {{\sin x}\over{x+1}} & f(0) &= 0\\
f'(x) &= {{-\sin x-x\,\cos x-\cos x}\over{\left(x+1\right)^2}} & f'(0) &= 1\\
f''(x) &= {{-x^2\,\sin x+2\,x\,\sin x-\sin x+2\,x\,\cos x+2\,\cos x}\over{
 \left(x+1\right)^3}} & f''(0) &= -2
\end{align}

Wie man sieht, wird das schnell unhandlich.  Glücklicherweise kann
man, hat man einige Glieder berechnet, oft auf die Folge schließen.
($f'''(0) = 5$).

Wir nehmen also wieder unser Taylorpolynom; der Einfachheit halber nur
dritten Grades:

\begin{equation*}
  f(a) + {f'(a) \over 1!}(x-a) + {f''(a) \over 2!}(x-a)^2 + {f'''(a) \over 3!}(x-a)^3
\end{equation*}

Und setzen wieder ein:

\begin{equation*}
  0 + {1}\cdot{}x + {-2 \over 2}\cdot x^2 + {5 \over 6}\cdot x^3
\quad=\quad x - x^2 + {5 \over 6}x^3
\end{equation*}

Für einen Computer sind diese Berechnung kein Problem, daher noch
einige Glieder mehr:

\begin{equation*}
x - x^2 + \frac{5\,x^3}{6} - \frac{5\,x^4}{6} + 
  \frac{101\,x^5}{120} - \frac{101\,x^6}{120} + 
  \frac{4241\,x^7}{5040} - \frac{4241\,x^8}{5040} + 
  \frac{305353\,x^9}{362880} - 
  \frac{305353\,x^{10}}{362880}
\end{equation*}

Nun können wir verschiedene Integrale vergleichen:

\begin{align*}
\int_0^{1\over4}{{\sin x \over x+1} dx} &\approx 0.0267209\\
\int_0^{1\over4}{T(2) dx} &\approx 0.0260417&
\int_0^{1\over4}{T(5) dx} &\approx 0.026727&
\int_0^{1\over4}{T(10) dx} &\approx 0.0267209\\[1.5em]
\int_0^1{{\sin x \over x+1} dx} &\approx 0.284227\\
\int_0^1{T(2) dx} &\approx 0.166667&
\int_0^1{T(5) dx} &\approx 0.348611&
\int_0^1{T(10) dx} &\approx 0.24771\\[1.5em]
\int_0^2{{\sin x \over x+1} dx} &\approx 0.670911\\
\int_0^2{T(2) dx} &\approx -0.666667&
\int_0^2{T(5) dx} &\approx 6.31111&
\int_0^2{T(10) dx} &\approx -100.523\\
\int_0^2{T_1(10) dx} &\approx 0.670931
\end{align*}

\pagebreak
Merke: Will man mit einer Taylor-Reihe gut annähern ist zu beachten
(vgl. auch Newton-Verfahren):
\begin{enumerate}[(a)]
\item ausreichend Glieder zu berechnen
\item den Startpunkt geschickt zu wählen (vgl. $T(10)$ mit $T_1(10)$,
  letzteres wurde mit $a=1$ berechnet.).
\end{enumerate}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.98\textwidth]{sinx}
\end{figure}

\section{Zusammenfassung}

Taylor-Reihen erlauben uns, ein Polynom zu finden, das eine beliebige
Funktion, die genügend oft differenzierbar ist, in der Nähe einer
Umgebung anzunähern.

In Handarbeit Taylor-Reihen zu berechnen erinnert eher an eine
Strafarbeit; für Computer ist es jedoch kein Problem, Taylor-Polynome
für beliebige Grade herzustellen.  Gerade in diesem Bereich finden sie
auch die meiste Anwendung.  Die Sinus-Funktion im Taschenrechner kennt
zum Beispiel einfach ein bestimmtes Taylor-Polynom und kann so
beliebige Werte von $\sin x$ mit den Grundrechenarten bestimmen.


\end{document}