* Einleitung ** kurzes Abstrakt, "Eine Formel zur Berechnung von abhängigen Wahrscheinlichkeiten" * Eine praktische Anwendung: Brustkrebsdiagnose ** Aufgabe an drei getrennte Gruppen (jeweils die selbe, aber anders skaliert): ...tbd... ** Zusammentragen und Vergleichen der Schätzungen an der Tafel: *** Hoffentlich stark variierende Ergebnisse... für die gleiche Aufgabe! => Intuition hilft nicht weiter, Mathematik muss her * Wer war Bayes? Ein historischer Exkurs ** Reverend Thomas Bayes * Einführung in das Bayes-Theorem ** Schreibweise A | B (sprich: A gegeben B) ( A unter der Bedingung B) "Likelihood" genannt == "Wahrscheinlichkeit" => verwenden wir nicht, schlechter Begriff ** Unintuitive Schreibweise, vgl. notwendig vs. hinreichend ** *nicht* kommutativ: A | B != B | A ** *nicht* dasselbe wie "und": A | B != A ^ B ** kurze Wiederholung der Wahrscheinlichkeit (möglicherweise nach Bedarf): *** p(X) \e [0;1] *** p(A v B) = p(A) + p(B) *** p(A ^ B) = p(A) * p(B) *** p(~A) = 1 - p(A) => p(A v ~A) = p(A) + p(~A) = 1 ** Das Bayes-Theorem, allgemeine Formulierung: p(A) * p(B|A) p(A|B) = ------------------------------- p(A) * p(B|A) + p(~A) * p(B|~A) *** unverständlich, kompliziert *** => einfache, "schöne" Schreibweise: p(A|B) * p(B) = p(B|A) * p(A) *** Beweis: p(B) = p(B) * 1 # B ist unabhängig von A, es trifft also immer # A gegeben B *oder* nicht-A gegeben B ein: = p(B) * ( p(A|B) + p(~A|B) ) = p(A|B) * p(B) + p(~A|B) * p(B) # "Einfaches" Bayes-Theorem einsetzen: = p(B|A) * p(A) + p(B|~A) * p(~A) p(A|B) * p(B) = p(B|A) * p(A) # teilen durch p(B) p(A) * p(B|A) <=> p(A|B) = --------------- p(B) # p(B) einsetzen: p(A) * p(B|A) p(A|B) = ------------------------------- p(A) * p(B|A) + p(~A) * p(B|~A) *** die "komplizierte" Form macht nun Sinn, sie kann flexibel umgeformt werden. *** die "einfache" From ist leicht-verständlich, bedarf aber komplexerer Umformungen. ** Bedeutung des Bayes-Theorems. "Tolle Formel, aber wozu?" "Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen" Wir kennen die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, wollen aber die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A kennen. N.B: | ist nicht kommutativ! ** Berechnung der Brustkrebswahrscheinlichkeit => klare Formulierung der Aufgabe => Berechnen mit der Bayes-formel => Entscheidungsbaum zur Visualisierung ** Eine weitere Aufgabe: Bonbons im Glas ** Weitere praktische Anwendung des Bayes-theorems: Spamfilter *** Graham *** Grundschema *** Referenzen *** Bayesfilter sind effektiv, da inhaltsbasiert *** Tricks der Spammer *** Ausblick ** Kurze Zusammenfassung: *** Bayes "einfach" *** Bayes "vollständig" *** Zweck ** Quellen *** http://de.wikipedia.org/wiki/Bayes-Theorem *** http://plato.stanford.edu/entries/bayes-theorem/ *** http://de.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes *** http://www.paulgraham.com/spam.html *** http://yudkowsky.net/bayes/bayes.html