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\line{\tf Das Bayes-Theorem\hss \sl GLF von Christian Neukirchen}
\rightline{\sl Juni 2005}

\beginsection 1. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Als {\sl bedingte Wahrscheinlichkeit} definieren wir die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein
Ereignis B bereits eingetreten ist.

Wir schreiben
$$p(A|B)$$
und lesen:
$$\hbox{A {\sl unter der Bedingung} B\qquad oder\qquad A {\sl gegeben} B}$$

{\bf Wichtig:} Die bedingte Wahrscheinlichkeit $p(A|B)$ darf nicht mit
der Verbundwahrscheinlichkeit $p(A\cap B)$ (lies: A {\sl und} B)
verwechselt werden!  Desweiteren stellen $p(A|B)$ und $p(B|A)$
unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten dar; es macht einen Unterschied,
ob wir ins Kino gehen, wenn es regnet, oder ob es regnet, wenn wir ins
Kino gehen.

\beginsection 2. Das Bayes-Theorem

Das Bayes-Theorem (benannt nach Reverend Thomas Bayes (1702--1761),
ursprünglich erwähnt in seinem Essay ``An Essay towards solving a
Problem in the Doctrine of Chances'', 1763) erlaubt das Rechnen mit
bedingten Wahrscheinlichkeiten, und besonders die Um\-kehr\-ung von
Schluss\-folgerungen.

Üblicherweise wird das Bayes-Theorem wie folgt angegeben:

$$p(A|B) = {{p(A) \cdot p(B|A)} \over {p(A) \cdot p(B|A) + p(\bar A) \cdot p(B|\bar A) }}$$

Diese recht komplizierte Darstellung kann leicht auf eine einfach
merkbare Formel zu\-rück\-ge\-führt werden:

$$p(A|B) \cdot p(B) = p(B|A) \cdot p(A)$$

Beweis der Äquivalenz beider Formeln:

\setbox23\vbox{
$$\eqalign{%
p(B) &= p(B) \cdot 1 \cr
&= p(B) \cdot ( p(A|B) + p(\bar A|B)) \cr
&= p(A|B) \cdot p(B) + p(\bar A|B) \cdot p(B)) \cr
&= p(B|A) \cdot p(A) + p(B|\bar A) \cdot p(\bar A)}$$
\bigskip\bigskip}

\setbox24\vbox{
$$\eqalign{%
p(A|B) \cdot p(B) & =  p(B|A) \cdot p(A) \cr
\Leftrightarrow\qquad p(A|B) & = {{p(A) \cdot p(B|A)} \over p(B)} \cr
\Leftrightarrow\qquad p(A|B) & = {{p(A) \cdot p(B|A)} \over {p(A) \cdot p(B|A) + p(\bar A) \cdot p(B|\bar A)}}}$$}

{\hfuzz=200pt
$$\hbox{\hskip-0.275\hsize\box23\hskip-0.475\hsize\box24}$$}

\beginsection 3. Beispiel

Das Riesenrad am Schützenfest verwendet, um Geld zu sparen, nur zu 60\%
Marken-Glühbirnen.  5\% der Marken-Glühbirnen und 10\% der
Billig-Glühbirnen sind durchgebrannt.  Angenommen, man finde eine
durchgebrannte Glühbirne; wie wahrscheinlich war sie eine
Markenglühbirne?

$$\eqalign{%
p(M) &= 0.6\cr
p(D|M) &= 0.05\cr
p(D|\bar M) &= 0.1\cr
p(M|D) &=\quad ?}$$

$$\eqalign{%
p(M|D) &=
{{p(M) \cdot p(D|M)} \over {p(M) \cdot p(D|M) + p(\bar M) \cdot p(D|\bar M)}}\cr
&= {{0.6 \cdot 0.05} \over {0.6 \cdot 0.05 + 0.4 \cdot 0.1}} 
= {0.03 \over 0.07} = 0.429
}
$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die durchgebrannte Birne also eine
Markenglühbirne war, ist 42.9\%.

\beginsection 4. Anwendung

Das Bayes-Theorem wird oft in der Wissenschaft verwendet, beispielsweise
in der Auswertung von medizinischen Tests.  Es ist die Grundlage für
das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, die in der Praxis und
Forschung häufig auftreten.

Ein weiteres erfolgreiches Einsatzgebiet des Bayes-Theorems stellt die
Verwendung von Bayes-Filtern zur Textkategorisierung dar; als
prominentestes Beispiel seien Spamfilter genannt (siehe Paul Graham,
``A Plan For Spam'', 2002).

\beginsection 5. Fazit

Das Bayes-Theorem ist als komplex und unintuitiv verschrien; das
Fehlen der Intuitivität ist jedoch auf die Ungewohntheit mit der
Vorstellung bedingter Wahrscheinlichkeiten (siehe W. Casscells,
A. Schoenberger, und T. Grayboys, "Interpretation by physicians of
clinical laboratory results.", 1978 und Gerd Gigerenzer und Ulrich
Hoffrage "How to improve Bayesian reasoning without instruction:
Frequency formats.", 1995) und einer für Uneingeweihte ungeeignete
Darstellung zurückzuführen.

Ich hoffe, dass das Bayes-Theorem durch die von mir vorgestellte
Vereinfachung, die dessen Symmetrie leicht erkennen lässt, dem
Publikum ein Stück nähergebracht wurde und die Wichtigkeit dieses
mathematischen Satzes ins Licht gerückt wurde.

\bye