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\begin{document}
\parskip 20pt plus10pt minus10pt

\begin{slide}

\centerline{\Large Taylor-Reihen}
\centerline{\small Mathematik GLF 12/2 2006 von Christian Neukirchen}
\hskip 0.7cm

\centerline{\bf Wie können wir $\sin x$ berechnen?}

Vielleicht gibt es ein Polynom, das $\sin x$ ähnlich ist.

\hskip-2.5cm\includegraphics[width=1.25\textwidth]{sinus}

Was wissen wir über den Sinus?
\begin{itemize}\itemsep-5pt
\item Ableitung
\item Wert an bestimmter Stelle (z.B. $\sin 0 = 0$).
\end{itemize}

\end{slide}
\goodbreak

\begin{slide}
  Solche Polynome heißen \emph{Taylor-Polynome} (oder auch
  \emph{Schmiegeparabeln}) und können mittels Taylor-Reihen entwickelt
  werden.

\begin{align*}
  T(x) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\[1em]
       &= f(a)\\[0.5em]
       &+ \frac{f'(a)}{1!}\cdot(x-a)\\[0.5em]
       &+ \frac{f''(a)}{2!}\cdot(x-a)^2\\[0.5em]
       &+ \frac{f'''(a)}{3!}\cdot(x-a)^3\\[0.5em]
       &+ \cdots
\end{align*}

Der Einfachheit halber setzen wir $a=0$ (auch als Maclaurin-Reihen bekannt).

\begin{equation*}
  f(0)
       + \frac{f'(0)}{1!}\cdot x
       + \frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2
       + \frac{f'''(0)}{3!}\cdot x^3
       + \cdots
\end{equation*}
     
%\begin{align*}
%  T(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}{f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^n\\[1em]
%  &= f(a) + {f'(a)\over1!}\cdot(x-a)^1 + {f''(a)\over2!}\cdot(x-a)^2\\[0.5em]
%  &\phantom{= f(a) }\:+ {f'''(a)\over3!}\cdot(x-a)^3 + {f''''(a)\over4!}\cdot(x-a)^4 \cdots
%\end{align*}

\end{slide}
\begin{slide}

\centerline{\bf Zurück zum Sinus}

\begin{align*}
f(x) &= \sin x&\qquad f(0)&=0\\
f'(x) &= \cos x&f'(0)&=1\\
f''(x) &= -\sin x&f''(0)&=0\\
f'''(x) &= -\cos x&f'''(0)&=-1\\
f''''(x) &= \sin x&f''''(0)&=0\\
f'''''(x) &= \cos x&f''''(0)&=1\\
&\kern13pt\vdots&&\kern13pt\vdots
\end{align*}

\begin{multline*}
  T(x) = f(0) + {f'(0)}\cdot{}x + {f''(0) \over 2}\cdot x^2 \\[0.5em] + {f'''(0) \over 6}\cdot x^3 + {f''''(0) \over 24}\cdot x^4 + {f'''''(0) \over 120}\cdot x^5
\end{multline*}

\begin{equation*}
  \sin x \approx x - {x^3 \over 6} + {x^5 \over 120}
\end{equation*}

\begin{align*}
  T(5) &=\frac{1841}{3840}\kern-2.75cm &\approx 0.479427\\
  \sin 0.5 &&\approx 0.479426
\end{align*}
\end{slide}

\begin{slide}
\centerline{\bf Annäherung von $e$}

\begin{align*}
f(x) &= e^x&f(0)&=1\\
f'(x) &= e^x&f'(0)&=1\\
f''(x) &= e^x&f''(0)&=1\\
f'''(x) &= e^x&f'''(0)&=1\\
f''''(x) &= e^x&f''''(0)&=1\\
&\kern13pt\vdots&&\kern13pt\vdots
\end{align*}

\begin{equation*}
  1 + x + {1\over2}x^2 + {1\over6}x^3 + {1\over24}x^4
\end{equation*}

\begin{align*}
  e &\approx 2.718281828\\
  T(2) &\approx 2.500000000\\
  T(5) &\approx 2.716666667\\
  T(10) &\approx 2.718281801
\end{align*}

\begin{multline*}
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + 
  \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!} + 
  \frac{x^8}{8!} \cdots
\end{multline*}
\end{slide}

\begin{slide}
\centerline{\bf Beweis des Satz von Taylor}

\emph{Satz von Taylor}: Ist eine Funktion $f$ in einem Intervall
$I \in \mathbb{R}$ beliebig oft differenzierbar, so gilt für $x, a \in I$
die Potenzreihenentwicklung:

\begin{equation*}
  T(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\[1em]
\end{equation*}

Skizze eines Beweises:
\begin{align*}
f(x) &= f(0) + \int_0^x{(x-t)^0f'(x)dt} \\
     &= f(0) + f'(0)\cdot x + \int_0^x{(x-t)^1f''(x)dt} \\
     &= f(0) + f'(0)\cdot x + \frac{f''(0)}{2}\cdot x^2 \\&\qquad + \int_0^x{(x-t)^2f'''(x)dt} \\
     &=\cdots
\end{align*}

\centerline{\bf Übrigens:}

Da $4\cdot\tan^{-1}1 = \pi$:
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + 
  \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\cdots
\end{equation*}
\end{slide}

\begin{slide}
\centerline{\bf Über Taylor-Reihen:}

\begin{itemize}\itemsep-5pt
\item Einige Annäherungen waren bereits im 14. Jhd. dem indischen
  Mathematiker Madhava bekannt (er hat damit $\pi$ auf 13 Stellen berechnet).
\item Im 17. Jhd. fand James Gregory einige Maclaurin-Reihen.
\item Erst 1715 wurde der Beweis von Brook Taylor veröffentlicht, daher sind
  sie ihm zu Ehren benannt.
\end{itemize}

\hskip 1cm
\centerline{\bf Über Brook Taylor (1685--1731):}

\begin{centering}
\includegraphics[height=7cm]{BTaylor}\\[0.7em]
\centerline{\small Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Brook\_Taylor}
\end{centering}

\begin{itemize}\itemsep-5pt
\item Englischer Mathematiker
\item 1715: \emph{Methodus Incrementorum Directa et Inversa}
\item bekannt für knappe und obskure Aufschriften
\item Das Taylor-Theorem war ihm 1712 bekannt, wurde aber erst 1772 von
  Lagrange als bedeutsam wiederentdeckt.
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\centerline{\bf Quellen:}

\begin{itemize}\itemsep-5pt
\item http://www.mathe.braunling.de/Taylor.htm
\item http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/\\aussage/aussage183/
\item http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/\\erlaeuterung/erlaeuterung81/
\item http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
\item http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor\_series
\item http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
\item http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor\%27s\_theorem
\item http://www.et.fh-koeln.de/ia/ma/taylor.html
\item http://www.antigauss.de/taylor1/taylor.pdf
\end{itemize}

\kern 5cm

\centerline{\bf\Large Vielen Dank!}


\end{slide}

\end{document}